huhu's Blog

0-1分布

• 符号：$\color{red}{X \sim{} 0 - 1(p)}$
• 分布律

$$P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k} \quad k = 0, 1$$

• 期望值

$$\sum^1_{k=0} k \cdot p^k(1-p)^{1-k} = 0(1-p) + p = p$$

• 方差

$$\begin{aligned} D(X) &= \sum^1_{k=0} (k - p)^2 p^k(1-p)^{1-k} = p^2(1-p) + (1-p)^2p = p(1-p) \\ &\text{或者} \\ D(X) &= E(X^2) - E(X)^2 \\ &= 0^2 \cdot (1-p) + 1^2 \cdot p - (0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p)^2 \\ &= p(1-p) \end{aligned}$$

向量范数

设$\mathbf{V}$是数域$\mathbf{F}$上的线性空间，如对$\mathbf{V}$中任意向量$\mathbf{a}$，
都有唯一的一个实数$\Vert{}\mathbf{a}\Vert{}$与之对应，且满足下列条件：

• 非负性：$\Vert{}\mathbf{a}\Vert{} \geq 0$，且$\Vert{}\mathbf{a}\Vert{} = 0 \Leftrightarrow \mathbf{a} = 0$
• 齐次性：$\Vert{}k\mathbf{a}\Vert{} = |k| \cdot \Vert{}\mathbf{a}\Vert{}$
• 三角不等式：$\Vert{}\mathbf{a}+\mathbf{b}\Vert{} \leq \Vert{}\mathbf{a}\Vert{} + \Vert{}\mathbf{b}\Vert{}$

则称$\Vert{}\mathbf{a}\Vert{}$为向量$\mathbf{a}$的范数

基本概念

• 样本空间：随机试验$E$的所有可能结果组成的集合，记为$S$
• 样本点：$E$的每个结果
• 随机事件：试验$E$的样本空间$S$的子集，简称事件
• 事件发生：当且仅当这一子集中的一个样本点出现的情况
  • 必然事件：每次实验中总是发生的
  • 不可能事件：每次实验中都不发生。记作$\varnothing$

我们到目前为止讨论了许多分解，那么有没有那么一种万能的分解呢？这就是奇异值分解。

任一$m \times n$的矩阵$A$都可以分解为一个$m \times m$的正交矩阵$U$，一个$m \times n$的对角矩阵$\Sigma$，和一个$n \times n$的正交矩阵$V$的转置$V^T$，即：

$$A = U\Sigma V^T$$

Courant Fischer定理给出了一个关于Hermitian矩阵特征值的变分特性描述

什么是线性空间

定义：设$F$是一个非空数集，且$0,1\in F$，若对$F$中任意元素$a,b$，有

单源最短路径

我们可以用已经知道的算法，来对所有点计算一次最短路径

简单来说，斯坦纳树就是将指定点的集合中的所有点连通，且边权总和最小的生成树，最小生成树其实是最小斯坦纳树的一种特殊情况，也就是指定集合为全部点的情况。而斯坦纳树的点可以是所有点的任意子集。

如图，红色的点即为需要连接的点，而图中红色的线所组成的树即为斯坦纳树