[学习笔记] - 复变函数与积分变换

复数

$z = x + iy$

称为复数，其中$i$为虚数单位，并规定$i^2 = i \times i = -1$，或$i = \sqrt{-1}$，$x, y \in \mathbb{R}$

• 实部：$\text{Re}z = x(\text{Real Part})$
• 虚部：$\text{Lm}z = x(\text{Imaginary Part})$

此笔记仅作为参考手册，不进行证明等操作

性质

• $z_1 = z_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2, y_1 = y_2$
• $z = 0 \Leftrightarrow x = y = 0$

复数不能比较大小

复数四则运算

加法

$z_1 + z_2 = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2)$

乘法

$z_1z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + i(x_1y_2 + x_2y_1)$

除法

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{x_2^2 + y_2^2} + i\frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2^2 + y_2^2}$

除法的本质是将分母实体化

复数几何表示

复数类似向量可以在二维平面上表示

共轭复数：$z = x + iy$的共轭复数为$x - iy$，它们以$x = 0$对称
复数的长度: $|z| = x^2 + y^2$

• $|z| = |\overline{z}|$
• $z\overline{z} = |z|^2$
• $\overline{\overline{z}} = z$
• 如果$z$是实数：$z = \overline{z}$

$\text{Re}z = \frac{z + \overline{z}}{2} \quad \text{Im}z = \frac{z - \overline{z}}{2i}$

$\overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} \quad \overline{z_1\cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \quad \overline{\frac{z_2}{z_1}} = \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_1}}$

复数三角表示

$\begin{aligned} z &= x + iy \rightarrow \begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases} \\ &= r(\cos\theta + i\sin\theta) \end{aligned}$

• $z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$
• $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$

复数指数形式

欧拉公式

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

从而可以得到

$\begin{aligned} z &= r(\cos\theta + i\sin\theta) \\ &= r \cdot e^{i\theta} \end{aligned}$

称$\theta$的值为$z$的辐角，记为$\arg z$，$\arg z = \theta + 2n\pi$

• $z_1 \cdot z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$
• $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$

乘幂公式

$\begin{aligned} z^n &= r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \\ &= r^ne^{in\theta} \\ z^{-n} &= \frac{1}{z^n} = \frac{1}{r^n} (\cos n\theta - i\sin n\theta) \\ ^n\sqrt{z} &= r^{\frac{1}{n}}(\cos \frac{\theta}{n} + i\sin\frac{\theta}{n}) \\ &= ^n\sqrt{r} (\cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}) \end{aligned}$

n个根的几何意义为以原点为中心，$^n\sqrt{n}$为半径的内接正$n$边形的顶点

无穷远点

全部复数中，没有一个数和$0$相乘其积异于0，所以不存在一个属，是被0所除的商，引入$\infty$，称为无穷大

$\infty = \frac{1}{0}$

• $a + \infty = \infty + a = \infty$
• $\infty - a = \infty$
• $a - \infty = -\infty$
• $a \cdot \infty = \infty \cdot a = \infty$
• $\frac{a}{\infty} = 0$
• $\frac{\infty}{a} = \infty$

在复平面上。 没有一个点和$\infty$对应，但是可以设想有一个理想点和它对应，称为无穷远点，平面上所有直线都通过无穷远点（黎曼球面）

平面点集

领域

平面上以$z_0$为中心，$\delta$为半径的圆，表示为

$|z - z_0| < \delta$

称它为$z_0$的领域，记作$U(z_0, \delta)$，称$0 < |z - z_0| < \delta$所确定的点集为$z_0$的去心领域
若$z_0 = \infty$，$k$为任意正数，满足$|z|>k$的点称为无穷远点的领域

• 内点：如果$\exist \delta > 0$，使得$U(z_0, \delta) \subset G$，那么称$z_0$为集$G$的内点
• 开集：如果集$G$中的每个点都是它的内点，那么称集$G$为开集
• 余集：平面上不属于$G$的点的全体称为$G$的余集，记为$G^c$
• 内集：开集的余集称为闭集
• 边界点：$z_0$是一点，若在$z_0$的任意领域既有$G$的点也有$G^c$的点，则为边界点
• 边界：$G$的边界点全体称为$G$的边界
• 孤立点：$z_0 \in G$，若在$z_0$的领域内除$z_0$外不含G的点，则称$z_0$是G的一个孤立点
  • 孤立点一定是一个边界点
• 有界集：如果存在一个以$z = 0$为中心的圆盘包含$G$
• 无界集：如果不存在一个以$z = 0$为中心的圆盘包含$G$
• 连同集：设$D$为一点集，对$D$中任意两点可用一条全部属于D的折现连接起来，则D称为联通集
• 区域
  • $D$是开集
  • $D$是连同的
  • 区域是开集
• 闭区域：区域$D$与它的边界一起构成的

复平面上的曲线

圆

$z = a(\cos t + i\sin t) \quad (0 \leq t \leq 2\pi)$

圆周

$|z| = a$

连通$z_1$和$z_2$的直线段

$z = z_1 + (z_2 - z_1)t \quad (0 \leq t \leq 1)$

• 光滑曲线：如果在区间$a \leq t \leq b$上$x'(t)$和$y'(t)$都是连续的，且对于$t$的每一个值，有$x'(t)^2 + y'(t)^2 \neq 0$
• 重点：满足$a < t_1 < b,a < t_1 < b$，当$t_1 \neq t_2$有$z(t_1) = z(t_2)$时，点$z(t_1)$称为曲线$C$的重点
• 简单曲线：没有重点的连续曲线
• 简单闭合曲线：闭合的简单曲线

复变函数

设有一复数$z = x + iy$的集合$G$，如果有一个确定的法则存在，对于集合$G$中的每一个复数$z$，按照这一法则，复数$w = u + iv$就随之而定，那么称$w$是复变数$z$的函数，简称复变函数，记为$w = f(z)$

$\begin{gathered} w = u + iv = f(z) \quad (z = x + iy) \\ \Downarrow \\ \begin{cases} u = u(x, y) \\ v = v(x, y) \end{cases} \end{gathered}$

把函数$w = f(z)$的定义集合$G$看成是$z$平面上的一个点集合，而把函数值集合$D$看成是$w$平面上的一个点集合，那么函数$w = f(z)$在集合上就可用看成是把集合$G$变到$D$的一个映射

设$f(z)$将G中的点$z$映射到$D$中的$w$，即集$G$映射为集$D$，则称点$w$为点$z$的像，点$z$为点$w$的原像，同样称$D$为$G$的像，$G$为$D$的原像

复变函数就是把点集进行映射为好研究的形状进行研究

复变函数的极限

设函数$w = f(z)$定义在$z_0$的领域$0 < |z - z_0| < \rho$内，总有一确定数$A$存在，$\forall \varepsilon > 0$，相应地必有整数$\delta(\varepsilon)$，使得$0 < |z - z_0| < \rho$时，$|f(z) - A| < \varepsilon$，则称$A$为$f(z)$当$z$趋向$z_0$时的极限，记为

$\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = A$

---

设$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，$A = a + bi, z_0 = x_0 + iy_0$，$\lim_{z \rightarrow z_0}f(z) = A$的充要条件为

$\lim_{x \rightarrow x_0, y \rightarrow y_0} u(x, y)= a \quad \lim_{x \rightarrow x_0, y \rightarrow y_0} v(x, y) = b$

可以把求复变函数的极限转化为求两个二元实变量函数的极限

• $\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = A$
• $\lim_{z \rightarrow z_0} g(z) = B$
  • $\lim_{z \rightarrow z_0}[f(z) + g(z)] = A + B$
  • $\lim_{z \rightarrow z_0}f(z)g(z) = AB$
  • $\lim_{z \rightarrow z_0}\frac{f(z)}{g(z)} = \frac{A}{B}$

复变函数的连续性

若$\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)$，则称$f(z)$在$z_0$处连续
若$f(z)$在区域$D$内处处连续，则称$f(z)$在D内连续

• 在$z_0$这点要有定义

• 在$z_0$这点的极限值要存在

• 在$z_0$这点的极限值要等于在这一点的函数值

• 定理：函数$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$在$z_0 = x_0 +iy_0$处连续的充要条件为$u(x, y)$和$v(x, y)$在$(x_0, y_0)$处连续

• 定理：连续函数的和，差，积，商，仍然时连续函数，连续函数的复合函数还是连续的

复变函数的导数

$w = f(z)$定义于区域$D$，$z_0, z_0 + \Delta Z \in D$，如果

$\lim_{\Delta z \rightarrow 0}\frac{\Delta W}{\Delta Z} = \lim_{\Delta z \rightarrow 0}\frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$

存在，则称$f(z)$在$z_0$处可导，极限值称为$f(z)$在$z_0$的导数

在一点可导和在一点可微是等价的

• 连续不一定可导
• 可导一定连续

• $C' = 0$
• $(f(z) \pm g(z))' = f'(z) \pm g'(z)$
• $(f(z)g(z))' = f'(z)g(z) + f(z)g'(z)$
• $\displaystyle \frac{f(z)}{g(z)}' = \displaystyle\frac{f'(z)g(z) - f(z)g'(z)}{g^2(z)}$
• $f(g(z))' = f'(w)g'(z)$
• $f'(z) = \frac{1}{\varphi'(w)}$，其中$w = f(z)$与$z = \varphi(w)$互为单只反函数

解析函数

• 若$f(z)$在$z_0$及$z_0$的领域内处处可导，则称$f(z)$在$z_0$解析
• 若$f(z)$在区域$D$内每一点解析，则称$f(z)$在区域$D$内解析，或称$f(z)$是区域$D$内的一个解析函数
• 若$f(z)$在$z_0$处不解析，则称$z_0$为$f(z)$的奇点

解析 > 可导 > 连续 > 极限，解析要求这一点以及某个领域可导

• 函数$f(z)$在点$z$解析就是函数$f(z)$在以点$z$为圆心的某个领域内可微
• 两个解析函数的和，差，积，商都是解析函数，解析函数的复合函数仍是解析
• 所有多项式在复平面上是处处解析的
• 任意的一个有理函数$\frac{p(z)}{q(z)}$（均为多项式）在不含分母为零的点的区域是解析函数

解析函数充要条件

设$w = f(z) = u(x, y) = iv(x, y)$，柯西-黎曼方程为

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

函数$w = f(z) = u(x, y) = iv(x, y)$在$z = x + iy$处可导的充分必要条件是

• $u(x, y)$和$v(x, y)$在点$(x, y)$处可微
• 满足柯西黎曼方程

函数$w = f(z) = u(x, y) = iv(x, y)$在区域$D$内解析的充要条件是

• $u(x, y)$和$v(x, y)$在$D$内任一点$z = x + iy$处可微
• 满足柯西黎曼方程

$u(x, y)$是一个二元函数，说它可微，指的是它的增量函数可以表示为两部分

• 自变量的线性部分
• 自变量的高阶无穷小部分

$\Delta u = \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y + \rho(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}) \quad \lim_{\Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0} \rho = 0$

则称$u(x, y)$可微

调和函数

如果二元实函数$\varphi(x, y)$在区域$D$内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程

$\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0$

则称$\varphi = \varphi(x, y)$为区域$D$内的调和函数，或称函数$\varphi(x, y)$在区域$D$内调和

• 定理：如果$f(z) = u + iv$在区域$D$内解析，则$u$和$v$在$D$内都是调和函数

设$\varphi(x, y)$及$\psi(x, y)$均为区域$D$内的调和函数，且满足柯西黎曼方程

$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y} \quad \frac{\partial\psi}{\partial x} = -\frac{\partial \psi}{\partial y}$

则称$\psi(x, y)$是$\varphi(x, y)$的共轭调和函数

$f(z) = x + iy$如果在整个复平面上是解析的，也知道它的虚部$y$也是实部$x$的共轭调和

• 定理：复变函数$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$在区域$D$内解析的充分必要条件是：在区域$D$内，$f(z)$的虚部$v(x, y)$是实部$u(x, y)$的共轭调和

指数函数

称

$e^z = \exp z = e^x(\cos y + i\sin y)$

为复指数函数

此处的$e$是复指数函数的专用记号

• $e^z$是单值函数
• $\forall z,e^z \neq 0$
• $\forall z_1 = x_1 + iy_1, z_2 = x_2 + iy_2$，有$e^{z_1 + z_2} = e^{z_1}e^{z_2}$
• $e^{z + 2k\pi i} = e^z$
• $e^z$是处处解析的

对数函数

若$\exp w = e^w = z$，则称$w$为$z$的对数函数，记为

$w = f(z) = \text{Ln}z$

• 多值性：设$z = re^{i\theta}$，$w = u + iv$，有$e^w = re^{i\theta}$，即$e^{u + iv} = e^ue^{iv} = re^{i(\arg z + 2k\pi)} = re^{i(\theta + 2k\pi)}$
  • $w = \text{Ln}z = \ln r + i(\theta + 2k\pi)$
• $\text{Ln}z_1z_2 = \text{Ln}z_1 + \text{Ln}z_2$
• $\text{Ln}\displaystyle\frac{z_1}{z_2} = \text{Ln}z_1 - \text{Ln}z_2$

三角函数

$\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \quad \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

• 在复平面解析
  • $\sin z' = \cos z$
  • $\cos z' = -\sin z$
• 奇偶性实函数
• 周期性以$2\pi$为周期
• 无界性
• 恒等关系
  • $\sin^2z + \cos^2z = 1$
  • $\sin(z_1 \pm z_2) = \sin z_1\cos z_2 \pm \cos z_1 \sin z_2$
  • $\cos(z_1 \pm z_2) = \cos z_1\cos z_2 \mp \sin z_1 \sin z_2$

双曲函数

$\sh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2} \quad \ch z = \frac{e^z + e^{-z}}{2} \quad \th z = \frac{\sh z}{\ch z} = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}}$

• $\sh z = -i \sin iz$
  • $sh z' = \ch z$
  • 周期：$2\pi i$
• $\ch z = \cos iz$
  • $ch z' = \sh z$
  • 周期：$2\pi i$
• $\th z = -i \tan iz$
  • 周期：$\pi i$

复积分

$\int_C f(z)\mathrm{d}z = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum^n_{k=1}f(\varsigma_k)\Delta z_k$

• $\int_{C^-}f(z)\mathrm{d}z$：沿曲线$C$的负方向积分
• $\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z$：沿闭曲线$\Gamma$的积分

复积分的性质

• $\int_C [af(z) + \beta g(z)]\mathrm{d}z = a \int_C f(z)\mathrm{d}z + \beta \int_C g(z)\mathrm{d}z$
• $\int_C f(z)\mathrm{d}z = -\int_{C^-}f(z)\mathrm{d}z$
• $\int_C f(z)\mathrm{d}z = \int_{c_1}f(z)\mathrm{d}z + \int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z$
  • $C = C_1 + C_2$
• $|\int_C f(z)\mathrm{d}z| \leq \int_C |f(z)||\mathrm{d}z| = \int_C |f(z)|\mathrm{d}s \leq ML$
  • $M = \max_{z \in C}|f(z)|$

例子:

$I = \oint_C \frac{\mathrm{d}z}{(z - z_0)^n} \quad C \Rightarrow |z - z_0| = r$

曲线$C$的方程为$z = z_0 + re^{i\theta}$

$\begin{aligned} I &= \int^{2\pi}_0 \frac{re^{i\theta}i}{(re^{i\theta})^n}\mathrm{d}\theta \\ &= \frac{i}{r^{n-1}}\int^{2\pi}_0 e^{i(1-n)\theta}\mathrm{d}\theta \end{aligned}$

• 当$n = 1$，$I = 2\pi i$
• 当$n \neq 1$，$I = 0$

柯西积分定理

设函数$f(z)$在单连通域$D$内解析，$\Gamma$为$D$内的任意一条简单闭曲线，则有

$\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z = 0$

设单连域$D$的边界为$C$，函数$f(z)$在$D$内解析，在$\overline{D} = D + C$上连续，则有

$\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z = 0$

设二连域$D$的边界为$C = C_1 + C_2^-$，函数$f(z)$在$D$内解析，在$\overline{D}$上连续，则$\oint_C f(z)\mathrm{d}z = 0$或

$\oint_{C_1} f(z)\mathrm{d}z = \oint_{C_2} f(z)\mathrm{d}z$

设多连域的边界为$C = C_0 + C_1^- + C_2^- + \cdots + C_n^-$，函数$f(n)$在$D$内解析，在$\overline{D}$上连续，则

$\oint_C f(z)\mathrm{d}z = 0$

或者

$\oint_{C_0} f(z)\mathrm{d}z = \oint_{C_1} f(z)\mathrm{d}z + \oint_{C_2} f(z)\mathrm{d}z + \cdots + \oint_{C_n} f(z)\mathrm{d}z$

一个闭区域的复积分为里面的奇点函数值之和

路径无关性

设函数$f(z)$在单连通域$D$内解析，$C_1, C_2$为$D$内的任意两条从$z_0$到$z_1$的简单曲线，则有

$\int_{C_1} f(z)\mathrm{d}z = \int_{C_2}f(z)\mathrm{d}z$

从$z_0$出发，沿$C_1$正向走到$z_0$点

原函数

设在单连域$D$内，函数$F(z)$恒满足条件$F'(z) = f(z)$，则$F(z)$称为$f(z)$在$D$内的一个原函数

$\int f(z)\mathrm{d}z = F(z) + c$

Newton-Leibniz公式

若$f(z)$在单连域$D$内处处解析，$G(z)$为$f(z)$的原函数，则

$\int_{z_0}^{z_1}f(z)\mathrm{d}z = G(z_1) - G(z_0)$

柯西积分公式

如果函数$f(z)$在连续区域$D$内解析，在$D$的闭包上连续，$z_0 \in D$，则

$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\mathrm{d}z$

解析函数在其解析区域的值完全由边界上的值确定，换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表现出来

应用：反过来计算积分：$\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\mathrm{d}z = 2\pi i f(z_0)$

例子：

$I = \oint_C \frac{2z - 1}{z^2 - z}\mathrm{d}z$

令$f(z) = \frac{2z - 1}{z^2 - z}\mathrm{d}z$，解得

$\begin{aligned} I &= \oint_{C_1}f(z)\mathrm{d}z + \oint_{C_2}f(z)\mathrm{d}z \\ &= \oint_{C_1}\frac{\frac{2z - 1}{z - 1}}{z}\mathrm{d}z + \oint_{C_1}\frac{\frac{2z - 1}{z}}{z - 1}\mathrm{d}z \\ &= 2\pi i (\frac{2z- 1}{z -1}|_{z = 0} + \frac{2z - 1}{z}|_{z = 1}) \\ &= 4\pi i \end{aligned}$

平均值公式

如果函数$f(z)$在$|z-z_0| < R$内解析，在$|z - z_0| \leq R$上连续，则有

$f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_0 f(z_0 + Re^{i\theta})\mathrm{d}z$

函数$f(z)$在圆心处的函数值 = 函数在圆周上的算数平均值

最大模定理

如果函数$f(z)$在$D$内解析，且不为常数，则在$D$内$|f(z)|$没有最大值

• 在区域$D$内解析的函数，如果其模在$D$内达到最大值，则此函数比恒为常数
• 若$f(z)$在有界区域$D$内解析，在$\overline{D}$上连续，则$|f(z)|$在$D$的边界上必能达到最大值

高阶导数

如果函数$f(z)$在区域$D$内解析，在$\overline{D} = D + C$上连续，则$f(z)$的各阶导数均在$D$上解析，且

$f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\varsigma)}{(\varsigma - z)^{n+1}}\mathrm{d}z \quad (z \in D)$

解析函数的导数仍解析

应用：反过来计算积分

$\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z = \frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0)$

柯西不等式

设函数$f(z)$在$|z - z_0| < R$内解析，且$|f(z)| < M$，则

$|f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!M}{R^n}$

刘维尔定理

设函数$f(z)$在全平面上解析且有界，则$f(z)$为以常数

复数序列

设$z_n$为复数，称$\lbrace Z_n \rbrace_n = 1,2,3$为复数序列

• $\lim_{n\rightarrow+\infty}z_n = a$: 收敛
• $\lim_{n\rightarrow+\infty}z_n = \infty$: 发散

设$z_n = x_n + iy_n, a = a + i\beta$，则$\lim_{n\rightarrow+\infty}z_n = a$的充要条件是

$\begin{cases} \lim_{n\rightarrow+\infty}x_n = a \\ \lim_{n\rightarrow+\infty}y_n = \beta \end{cases}$

复数项级数

称

$\sum_{n = 1}^{+\infty} z_n = z_1 + z_2,+ \cdots$

为复数项级数，简记为$\sum z_n$，称

$\sum_{k = 1}^{n} z_k = z_1 + z_2 + \cdots + z_k$

为级数的部分和

• $\lim_{n\rightarrow +\infty} s_n = s$: 级数收敛

设$z_n = x_n + iy_n, a = a + i\beta$，则$\lim_{n\rightarrow +\infty} s_n = s$的充要条件是

$\begin{cases} \sum x_n \\ \sum y_n \end{cases}$

都收敛

• 若$\sum |z_n|$收敛，则称$\sum z_n$绝对收敛
• 若$\sum |z_n|$发散，$\sum z_n$收敛，则称$\sum z_n$条件收敛
• 若$\sum |z_n|$收敛，则$\sum z_n$必收敛

复变函数项级数

• 复变函数序列：$\lbrace f_n(z) \rbrace_{n=1,2,\cdots}$
• 复变函数项级数：$\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots$
• 级数$\sum f_n(z)$的部分和：$s_n(z) = \sum_{k=1}^n f_k(z)$
• 收敛：$\lim_{n \rightarrow +\infty} s_n(z_0) = s(z_0)$
• 在区域$D$内收敛，称$s(z)$为和函数，$D$为收敛域

幂级数

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z - a)^n = a_0 + a_1(z - a) + a_2(z - a)^2 + \cdots$

其中$a_n, a$为复常数，当$a = 0$时有

$\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n = a_0 + a_1z+a_2z^2+\cdots$

对于幂级数$\sum a_n z^n$有

• 在0点必收敛
• 如果级数在$z_0$点收敛，则它在$|z| < |z_0|$上绝对收敛
• 如果级数在$z_1$点发散，则它在$|z| > |z_1|$上发散

---

• $\sum_{n = 0}^{+\infty}a_nz^n \pm \sum_{n = 0}^{+\infty}b_nz^n = \sum_{n = 0}^{+\infty}(a_n \pm b_n)z^n$
• $\sum_{n = 0}^{+\infty}a_nz^n \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty}b_nz^n = \sum_{n = 0}^{+\infty}(a_0b_n + a_1b_{n-1} + \cdot + a_nb_0)z^n$

收敛圆

设$C_R$的半径为$R$

• 称圆域$|z| < R$为收敛圆
• 称$R$为收敛半径

级数在收敛圆的边界上各点的收敛情况时不一定的

收敛半径

• 比值法：如果$\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{|a_{n+1}|}{a_n} = \lambda$
  • 收敛半径：$R = \frac{1}{\lambda}$
• 根植法：如果$\lim_{n\rightarrow +\infty}^n\sqrt{|c_n|} = \rho$
  • 收敛半径：$R = \frac{1}{\rho}$

幂级数性质

设$f(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n(z - z_0)^n, |z - z_0 < R|$，则

• 函数$f(z)$在收敛圆$|z - z_0| < R$内解析
• 函数$f(z)$的导数可由其幂级数逐项求导得到
  • $f'(z) = \sum^{+\infty}_{n=1} na_n(z - z_0)^{n-1}$
• 在收敛圆内可以逐项积分，即
  • $F(z) = \int^z_{z_0} f(z)\mathrm{d}z = \sum^{+\infty}_{n=0}\frac{a_n}{n + 1}(z - z_0)^{n+1}$

设级数$\sum^{+\infty}_{n=0}a_nz^n$在$|z| < R$内收敛，和函数为$f(z) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_nz^n$，又设函数$g(n)$在$|z| < r$内解析，且满足$|g(z)| < R$，则当$|z| < r$时，有$f(g(z)) = \sum^{+\infty}_{n=0}a_n(g(z))^n$

泰勒级数

泰勒定理：设函数$f(z)$在区域$D$内解析，$C$为$D$的边界，$z_0 \in D$，$R = \min_{z \in C}|z - z_0|$，则当$|z - z_0| < R$，有

$f(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} a^n(z - z_0)^n \quad a_n = \frac{1}{n!}f^{(n)}(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_L \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z$

• 幂级数的收敛域必须是圆域
• 幂级数一旦收敛，其和函数一定解析
• 对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，其结果唯一
• 函数$f(z)$在$z_0$点展开为泰勒级数，其收敛半径等于从$z_0$点到$f(z)$的最近一个奇点$z$的距离

在比较小的范围内，泰勒级数无限接近原函数，可以用它近似原函数

---

• 直接计算

$a_n = \frac{1}{n!}f^{(n)}(0)$

常见展开式

$\frac{1}{1 - z} = \sum^{+\infty}_{n=0}z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots \quad |z| < 1$

$e^z = \sum^{+\infty}_{n=0}\frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots \quad |z| < +\infty$

洛朗级数

引入负幂次项，就可能将一个函数在整个复平面上展开（除了奇点所在的圆周）

设函数$f(z)$在圆环域$D: R_1 < |z - z_0| < R_2$内解析，则$f(z)$一定能再次圆环域中展开为

$f(z) = \sum^{+\infty}_{n = -\infty}a_n(z - z_0)^n \quad a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta$

$C$是圆环内绕$z_0$的任何一条简单闭曲线

• 正幂次项：解析部分
• 负幂次项：主要部分
• 展开项唯一
• 若在$0 \leq |z - z_0| < R$内解析，则$f(z)$在此圆环内的洛朗展开式就是泰勒展开式

洛朗级数的展开

在求展开式之前，都需要根据函数的奇点位置，将复平面分为若干个解析环
比如奇点为$z_1, z_2, z_3$，展开点为$z_0$则复平面被分为

• $0 \leq |z - z_0| < r_1$
• $r_1 < |z - z_0| < r_2$
• $r_2 < |z - z_0| < r_3$
• $r_3 < |z - z_0| < +\infty$

复闭路积分

• 若$f(z)$在$D$内解析，在$\Gamma$上连续，由柯西积分定理$\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z = 0$
• 若$f(z)$在$D$内由唯一的奇点$z_0$，由闭路变形原理：$\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z = \oint_C f(z)\mathrm{d}z$
  • 由$\oint_C \frac{\mathrm{d}z}{(z - z_0)^n} = \begin{cases} 2\pi i & n = 1\\0 & n\neq 1\end{cases}$
  • 则积分$\oint_\Gamma f(z)\mathrm{d}z = 2\pi i c_{-1}$， $c_{-1}$为洛朗展开负一次项系数

孤立奇点

设$z_0$为函数$f(z)$的奇点，且存在$\delta > 0$使得$f(z)$在$z_0$的去心领域$0 < |z - z_0| < \delta$内解析，则称$z_0$为$f(z)$的孤立奇点

• 可去奇点：如果在洛朗级数中不含$z - z_0$的负幂项，则孤立奇点$z_0$称为$f(z)$的可去奇点
• 极点：如果在洛朗级数中只有有限多个$z - z_0$的负幂项，且其中关于$(z - z_0)^{-1}$的最高负幂次为$m$，则为$m$阶极点
• 本性奇点：洛朗级数中含有无穷多$z - z_0$的负幂项，则孤立奇点$z_0$称为$f(z)$的本性奇点
  • $\lim_{z \rightarrow z_0}f(z)$不存在且不为$\infty$

零点

• 若$f(z_0) = 0$，则称$z = z_0$为$f(z)$的零点
• 若$f(z) = (z - z_0)^m\varphi(z)$，$\varphi(z)$在$z_0$处解析且$\varphi(z_0) \neq 0$，则称为$m$阶零点

对于不恒为0的解析函数，其零点是孤立的
即在零点的一个小领域内，函数无其他零点

• 定理：如果$z_0$是$f(z)$的$m$阶零点，则$z_0$就是$1/f(z)$的$m$阶极点，反过来也成立

设函数$f(z)$在$z_0$处解析，则下列条件是等价的

• $z_0$为$f(z)$的$m$阶零点
• $f^{(k)}(z_0) = 0, k =0,1,2,\cdots,m-1; f^{(m)}(z_0) \neq 0$

无穷远点是复平面外的理想点，故无穷远点总是函数$f(z)$的奇点
如果函数$f(z)$在无穷远点$z = \infty$的去心领域$R < |z| < \infty$内解析，称点$\infty$为$f(z)$的孤立奇点
做变换$w = 1/z$把扩充$z$平面上$\infty$的去心领域$R < |z| < +\infty$映射称扩展$w$平面上原点的去心领域$0 < |w| < 1/R$
若记

$f(z) = f(\frac{1}{w}) = \varphi(w) \quad \lim_{z \rightarrow \infty}f(z) = \lim_{w \rightarrow 0}\varphi(w)$

函数$f(z)$在无穷远点$z = \infty$的性态可由函数$\varphi(w)$在原点$w = 0$的性态来刻画

• $\lim_{z \rightarrow \infty}f(z)$存在且有限，称$\infty$为$f(z)$的可去奇点
  • $\lim_{z \rightarrow \infty}f(z) < \infty$
• $\lim_{z \rightarrow \infty}f(z)$，称$\infty$为$f(z)$的极点
  • $f = \frac{g}{(z - z_0)^m}, \lim_{z \rightarrow \infty}f(z) = \infty$
• $\lim_{z \rightarrow \infty}f(z)$不存在且不为无穷，称$\infty$为$f(z)$的本性奇点

留数

设$z_0$为函数$f(z)$的孤立奇点，将$f(z)$在$z_0$的去心领域内展开为洛朗级数，称$c_{-1}$是积分过程中唯一残留下来的洛朗系数，称$c_{-1}$为$f(z)$在$z_0$处的留数，记作

$Res[f(z), z_0] = c_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z)\mathrm{d}z$

留数，就是被留下来的数，$c_{-1}$被留下了，这就是留数了

留数定理

设函数$f(z)$在区域$D$内除有限个孤立奇点$z_1, z_2, \cdots, z_n$外处处解析，$C$是$D$内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则

$\oint_C f(z)\mathrm{d}z = 2\pi 1 \sum^n_{k = 1}Res[f(z), z_k]$

• 如果$z_0$是$f(z)$的可去奇点，则$Res[f(z), z_0] = 0$
• 如果$z_0$是$f(z)$的本性奇点，则需要洛朗级数展开
• 如果$z_0$是$f(z)$的极点，则有对$c_{-1}$的法则

法则：如果$z_0$为$f(z)$的一阶极点，则

$Res[f(z), z_0] = \lim_{z \rightarrow z_0}(z - z_0)f(z)$

法则：如果$z_0$为$f(z)$的$m$阶极点，则

$Res[f(z), z_0] = \frac{1}{(m - 1)!}\lim_{z \rightarrow z_0} \frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{m-1}} \lbrace (z - z_0)^mf(z) \rbrace$

法则：若$f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}$，$Q(z_0) = 0$，$Q'(z_0) \neq 0$，$P(z_0) \neq 0$，且$P(z), Q(z)$在$z_0$点解析，则$z_0$是$f(z)$的简单极点

$Res[f(z), z_0] = \frac{P(z)}{Q'(z)}$

无穷远点的留数

设函数$f(z)$在圆环域$R < |z| < \infty$内解析，$C$为该圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，则积分

$\frac{1}{2\pi i} \oint_{C^-} f(z)\mathrm{d}z$

为$f(z)$在$\infty$点的留数，记作

$Res[f(z), \infty] = \frac{1}{2\pi i}\oint_{C^-} f(z)\mathrm{d}z$

定理：如果$f(z)$在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么$f(z)$在所有各奇点(包括$\infty$)的留数总和必等于零
法则：

$Res[f(z), \infty] = -Res[f(\frac{1}{z})\cdot\frac{1}{z^2}, 0]$

留数应用

$z = e^{i\theta}$

$\theta \in [0, 2\pi]$为复平面上的单位圆周，$\mathrm{d}z = ie^{i\theta}\mathrm{d}\theta = iz\mathrm{d}\theta \Rightarrow \mathrm{d}\theta = \frac{\mathrm{d}z}{iz}$

$\begin{aligned} \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2} = \frac{z^2 + 1}{2z} \\ \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = \frac{z - z^{-1}}{2i} = \frac{z^2 - 1}{2iz} \end{aligned}$

即可转换积分

$\begin{aligned} \int^{2\pi}_0 R(\cos\theta, \sin\theta)\mathrm{d}\theta &= \oint_{|z| = 1}R(\frac{z^2 + 1}{2z}, \frac{z^2 - 1}{2iz})\frac{1}{iz}\mathrm{d}z \\ &= \oint_{|z| = 1}f(z)\mathrm{d}z \end{aligned}$

其中$f(z)$是$z$的有理函数，且在单位圆周$|z| = 1$上分母不为零，根据留数定数有

$\int^{2\pi}_0 R(\cos\theta, \sin\theta)\mathrm{d}\theta = \oint_{|z| = 1}f(z)\mathrm{d}z = 2\pi i \sum^{n}_{k=1}Res[f(z), z_k]$

其中$z_k(k=1,2,\cdots,n)$为单位圆$|z| = 1$内的$f(z)$的孤立奇点

---

形如

$\int^{+\infty}_{-\infty}R(x)\mathrm{d}z$

• $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P, Q$为多项式
• 分母$Q(x)$的次数比分子$P(x)$的次数至少高2次
• 分母$Q(x)$无实零点

则

$\int^{+\infty}_{-\infty}R(x)\mathrm{d} = 2\pi i \sum_{k}Res[R(z), z_k]$

这里$z_k$为$R(z)$在上半平面的所有孤立奇点

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形如

$\int^{+\infty}_{-\infty}R(x)e^{iax}\mathrm{d}x(a > 0)$

• $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P, Q$为多项式
• 分母$Q(x)$的次数比分子$P(x)$的次数至少高1次
• 分母$Q(x)$无实

则

$\int^{+\infty}_{-\infty}R(x)e^{iax}\mathrm{d}x = 2\pi i \sum_{k}Res[R(z)e^{iaz}, z_k]$

这里$z_k$为$R(z)$在上半平面的所有孤立奇点

共形映射

伸缩率：经过$z_0$点的曲线$C_0$经$w = f(z)$映射后，变成了过$w_0$点的曲线$\Gamma_0$，曲线被伸缩和选中

\lim_{\substack{z \rightarrow z_0 \\ C_0}} \frac{|w - w_0|}{|z - z_0|} = \lim_{\substack{\Delta z \rightarrow 0 \\ C_0}} \frac{|\Delta w|}{|\Delta z|}

为曲线$C_0$经$w = f(z)$映射后，在$z_0$点的伸缩率

\lim_{\substack{z \rightarrow z_0 \\ C_0}} (\varphi - \theta) = \varphi_0 - \theta_0

为曲线$C_0$经$w = f(z)$映射后，在$z_0$点的旋转角

导数的几何意义

• $|f'(z_0)|$为曲线$C_0$在$z_0$点的伸缩率
• $\arg f'(z_0)$为曲线$C_0$在$z_0$点的旋转角

---

• 伸缩率不变性：任何一条经过$z_0$点的曲线的伸缩率均为$|f'(z_0)|$
• 旋转角不变性：任何一条经过$z_0$点的曲线的旋转角均为$\arg f'(z_0)$
• 保角性：即$w = f(z)$保持了两条曲线的夹角的大小与方向不变

---

• 第一类保角映射
  • 函数$w = f(z)$在区域$D$内满足
    • 保角性
    • 伸缩率不变性
    • $f'(z) \neq 0$
• 第二类保角映射
  • 函数$w = f(z)$在区域$D$内满足
    • 能保持两条曲线的交角的大小不变，但方向相反
    • 伸缩率不变性

共性映射：若函数$w = f(z)$在区域$D$的第一类保角映射，且当$z_1 \neq z_2$时，$f(z_1) \neq f(z_2)$，则称$w = f(z)$为区域$D$内的共形映射，要求函数必须时一一映射（双方单值）

解析 + $f'(z) \neq 0 +$ 一一映射 = 共性映射

• 保域性定理：设函数$w = f(z)$在区域$D$内解析，且不恒为常数，则其像集合$G = f(D)$仍位区域
• 边界对应原理：设区域$D$的边界位简单闭曲线$C$，函数$w = f(z)$的闭区域$\overline{D} = D + C$上解析，且将曲线C双方单值地映射位简单闭曲线$\Gamma$
  • 当$z$沿$C$的正向绕行时，相应的$w$的绕行方向定为$\Gamma$的正向，并令$G$是以$\Gamma$为边界的区域，则$w = f(z)$将$D$共性映射为$G$
• 黎曼存在唯一性定理
  • 设$D$和$G$是任给的两个单连域，在其各自的边界上至少含有两个点，则一定存在解析函数$w = f(z)$将区域$D$共形映射为$G$
  • 如果在区域$D$和$G$内再分别任意指定一点$z_0$和$w_0$，并任给一实数$\theta_0 \in (-\pi, \pi]$，使得$\arg f'(z_0) = \theta_0$且$f(z_0) = w_0$，则映射$w = f(z)$是唯一的

对给定的单连域$D$，求共性映射，使得$D$映射为单位圆域，事实上，由此即可求得任意两个单连域之间的共性映射（单位圆域为中介）

$\begin{gathered} D(z) \xrightarrow{\xi = g(z)} \text{单位圆域} \xleftarrow{\xi = h(w)} G(w) \\ \Downarrow \\ w = h^{-1}(g(z)) = f(z) \end{gathered}$

分式线性映射

由分式线性函数$w = \frac{az + b}{cz + d}, (\frac{a}{c} \neq \frac{b}{d})$构成的映射，若$c = 0$，则为整式线性映射

• 两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射
• 分式线性映射的逆隐射也是一个分式线性映射

$\begin{gathered} w = \frac{2z}{z + i} = \frac{2z + 2i - 2i}{z + i} = 2 + \frac{-2i}{z + i} = 2 + 2e^{-\frac{\pi}{2}i}\cdot \frac{1}{z + i} \\ z \xrightarrow{z + i} z_1 \xrightarrow{\frac{1}{z_1}} z_2\xrightarrow{e^{-\frac{\pi}{2}i}z_2} z_3 \xrightarrow{2z_3} z_4 \xrightarrow{z_4 + 2} w \end{gathered}$

一个一般形式的分式线性映射可以由几种最简单发分式线性映射复合而成

• 整式线性映射
  • $w = z + b(b \in \mathbb{Z})$
  • $w = e^{i\theta_0}z(\theta_0 \in \mathbb{R})$
  • $w = rz(r > 0)$
• 分式线性映射
  • $w = e^{i\theta_0}z(\theta_0 \in \mathbb{R})$
  • $w = rz(r > 0)$
  • $w = \frac{1}{z}$

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• 平移映射：$w = z + b$
  • 将点集沿着向量$\overline{b}$的方向平移一段距离$|\overline{b}|$
• 选择映射：$w = e^{i\theta_0}z$
  • 将点集绕原点旋转一个角度$\theta_0$
    • $\theta_0 > 0$：逆时针旋转
    • $\theta_0 < 0$：顺时针旋转
• 相似映射：$w = rz$
  • 将点集沿极径方向相似地扩大(缩小)$r$倍
• 反演映射：$w = \frac{1}{z}$
  • 将单位圆内(外)的点映射到单位圆外(内)的点
  • 它们的模互为导数，辐角反号

定义：若$\overline{OA}\cdot\overline{OB} = R^2$，则称$A$点和$B$点关于圆周$C$对称
保对称点性：设点$z_1,z_2$关于圆周$C$对称，则在分式线性映射下，它们的像点$w_1,w_2$也关于像曲线$C'$对称

分式线性映射特性

• 保形性
• 解析性
• 保圆性

分式线性映射再扩充复平面上是共形映射
导数映射将圆变为圆或直线，将直线变为圆或直线

• 线性映射将圆变成圆，将直线变成直线
• 将直线看作是半径为无穷大的圆

在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆（可能是直线）

• 如果给定的圆上没有点映射成无穷远点，则映射为半径有限的圆
• 如果给定的圆上有一点映射成无穷远点，则映射为直线
• 对于圆弧段，如果其中一个端点映射成无穷远点，则映射为射线

---

给定三个条件，就能决定一个分式线性映射

定理：在$z$平面上任给三个不同的点$z_1,z_2,z_3$，在$w$平面上也任给三个不同的点$w_1,w_2,w_3$，则存在唯一的分式线性映射，将$z_1,z_2,z_3$分别依次映射为$w_1,w_2,w_3$

$\frac{w - w_1}{w - w_2}:\frac{w_3 - w_1}{w_3 - w_2} = \frac{z - z_1}{z - z_2}:\frac{z_3 - z_1}{z_3 - z_2}$

称为对应点公式，由于分式线性映射具有保圆性，因此该公式通常用于：把过$z_1,z_2,z_3$三点的圆（或圆弧）映射为过$w_1,w_2,w_3$的圆（或圆弧）
如果$z_1,z_2,z_3$和$w_1,w_2,w_3$中有一个为无穷远点$\infty$，则只需将对应点公式中含有$\infty$的项换成$1$

---

设$w = f(z)$为分式线性映射，且$f(z_1) = w_1, f(z_2) = w_2$，则它可表示为：$\frac{w - w_1}{w - w_w} = k\frac{z - z_1}{z - z_2}$，特别的若$f(z_1) = 0, f(z_2) = \infty$，则$w = k\frac{z - z_1}{z - z_2}$

把过$z_1, z_2$的点的弧映射成过原点的直线，若左式作为中间步骤，则$k$可设为$1$

其他函数映射

• 幂函数：$w = z^n$
  • 扩大顶点在原点的角形域
• 根式函数：$w = ^n\sqrt{z}$
  • 缩小顶点在原点的角形域

幂函数$w = z^n$在$z$平面上除原点外是第一类保角映射
在角形域或扇形域$(0 < \theta < \theta_0)$上，如果$\theta_0 \leq \frac{2\pi}{n}$，则幂函数$w = z^n$是共形映射

• 指数函数：$w = e^z$
  • 将水平带形域（半带形域）变为角形域（或扇形域）

幂函数$w = z^n$在$z$平面上是第一类保角映射
在水平带形域$(0 < y < h)$上，如果$h \leq 2\pi$，则指数函数$w = e^z$是共形映射

傅里叶变换

• 对于给定的函数，其傅里叶级数展开式是唯一的
  • 傅里叶系数是固定的
• 在计算展开系数$c_n$时，可在任意一个长度为$T$的区间上计算其中的积分
• 采用周期延拓级数，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上的函数
  • 对于定于在有限区间的函数，同样可以展开为傅里叶级数

任何一个周期性函数，都可以分解为正余弦函数的和

傅里叶级数的三角形式

设$f_T(t)$是以$T$为周期的实值函数，且在$[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]$上满足条件

• 连续或只有有限个第一类间断点
• 只有有限个极值点

令$\omega_0 = 2\pi /T$称为基频，则在$f_T(t)$的连续点处，有

$f_T(t) = \frac{a_0}{2} + \sum^{+\infty}_{n=1}(a_n\cos n\omega_0 t + b_n \sin n\omega_0 t)$

在间断点处，上式左端为$\frac{1}{2}[f_T(t + 0) + f_T(t - 0)]$，其中

$\begin{aligned} a_n &= \frac{2}{T}\int^{T/2}_{-T/2}f_T(t)\cos n\omega_0 t\mathrm{d}t (n = 1,2,\cdots) \\ b_n &= \frac{2}{T}\int^{T/2}_{-T/2}f_T(t)\sin n\omega_0 t\mathrm{d}t (n = 1,2,\cdots) \end{aligned}$

由欧拉公式

$\begin{aligned} \cos n\omega_0 t &= \frac{e^{in\omega_0t} + e^{-in\omega_0t}}{2} \\ \sin n\omega_0 t &= \frac{-e^{in\omega_0t} + e^{-in\omega_0t}}{2} \end{aligned}$

带入上式整理可得

$f_T(t) = \frac{a_0}{2} + \sum^{+\infty}_{n=1}(\frac{a_n - ib_n}{2}e^{in\omega_0t} + \frac{a_n + jb_n}{2}e^{-jn\omega_0t})$

令$A_0 = \frac{a_0}{2}, A_n = \sqrt{a^2_n + b^2_n}, \cos\theta_n = \frac{a_n}{A_n}, \sin\theta_n = \frac{-b_n}{A_n}$，则

$\color{red}f_T(t) = A_0 + \sum^{+\infty}_{n=1}A_n\cos(n\omega_0t + \theta_n)$

• 周期信号可以分解为一系列固定的简谐波之和，这些简谐波的角频率分别为一个基频$\omega_0$的倍数
• 任何一个周期为$T$的周期信号$f_T(t)$并不包含所有的频率成分，其频率是以基频$\omega_0$为间隔离散取值的

这是周期信号的一个非常重要的特点

• 振幅$A_n$：反映了在信号$f_T(t)$中频率为$n\omega_0$的简谐波所占有的份额
• 相位$\theta_n$：反映了在信号$f_T(t)$中频率为$n\omega_0$的简谐波沿时间轴移动的大小

这2各指标完全的定理的刻画了信号的频率特性

傅里叶级数的指数形式

令$c_0 = \frac{a_0}{2}, c_n = \frac{a_n - ib_n}{2}, c_{-n} = \frac{a_n + jb_n}{2}$，则有

$f_T(t) = \sum^{+\infty}_{n = -\infty}c_ne^{in\omega_0t} \quad c_n = \frac{1}{T}\int^{T/2}_{-T/2}f_T(t)e^{-in\omega_0t}\mathrm{d}t$

称系数$c_n$为(离谱)频谱，记为$F(n\omega_0) = c_n$，它的模$|c_n|$恰好反映了振幅，而它的辐角$\arg c_n$就是相位

• 振幅谱：$|c_n|$
• 相位谱：$\arg c_n$
• 频谱：$c_n$

$e^{in\omega_0t}$可以看作一组正交基

傅里叶积分公式

借助傅里叶级数的展开，可以了解信号的频率特性，认清信号的本质，这样的分析手段叫做频谱分析，但是傅里叶级数要求展开函数必须时周期函数，而实际中大部分时非周期函数，所以需要进行转换

没有周期的函数可以看作为一个周期无穷大的一个周期函数

设函数$f(t)$满足

• 在$(-\infty,+\infty)$上的任一有限区间内满足Dirichlet条件
  • 在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点；
  • 在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
  • 在一周期内，信号是绝对可积的。
• 绝对可积，即：$\int^{+\infty}_{-\infty}|f(t)|\mathrm{d}t < +\infty$

则在$f(t)$的连续点处，有

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}\left [\int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t\right ]e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega$

在间断点处，公式的左端应为$\frac{1}{2}[f(t + 0) + f(t - 0)]$

傅里叶正变换

$\color{red}F(\omega) = \int^{+\infty}_{-\infty}f(t)e^{-i\omega t}\mathrm{d}t \xlongequal{\text{记为}} \mathfrak{F}(f(t))$

傅里叶逆变换

$\color{red}f(t) = \frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega \xlongequal{\text{记为}} \mathfrak{F}^{-1}(f(\omega))$

• 象函数：$F(\omega)$
• 象原函数：$f(t)$
• 傅里叶变换对：$f(t) \leftrightarrow F(\omega)$

广义积分取柯西主值

傅里叶变换的物理意义

傅里叶变换刻画了非周期函数的频谱特性，非周期函数的频谱是连续取值的，像函数$F(w)$反映的是函数$f(t)$中各频率分量的分布密度，它是复值函数，故可表示为

$F(\omega) = |F(\omega)|e^{i\arg F(\omega)}$

称$F(\omega)$为频谱密度函数

• 振幅谱：$|F(\omega)|$
• 相位谱：$\arg F(\omega)$

傅里叶常用公式

$\begin{aligned} &\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{\sin ax}{x}\mathrm{d}x = \pi \quad (a > 0) \\ &\int^{+\infty}_{0} \frac{\sin ax}{x}\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \quad (a > 0) \end{aligned}$

---

$\begin{gathered} \frac{1}{\pi}\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{\sin \omega t}{\omega}\mathrm{d}\omega = \begin{cases} 1 & t > 0 \\ 0 & t = 0 \\ -1 & t < 0 \end{cases} == \text{sgn} t \\ \text{sgn} t \leftrightarrow \frac{2}{j\omega} \end{gathered}$

单位冲激函数

一些常用函数不能进行傅里叶变换，还有许多瞬时物理量不能用通常的函数形式来描述
比如，对线密度函数进行积分可以得到质量

$\begin{gathered} P_a(x) = \begin{cases} \frac{m}{a} & o \leq x \leq a \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \\ \int^{+\infty}_{-\infty} P_a(x)\mathrm{d}x = m \end{gathered}$

单位冲激函数$\delta(t)$满足

• 当$t \neq 0$时，$\delta(t) = 0$
• $\int^{+\infty}_{-\infty} \delta(t)\mathrm{d}t = 1$

单位冲激函数$\delta(t)$不是经典意义下的函数，通常称其为广义函数
不能通过常规意义下的值的对应关系来理解和使用，而总是通过它的性质来使用它

单位冲激函数性质

筛选性质：设函数$f(t)$是定义在$(-\infty, +\infty)$上的有界函数，且在$t = 0$处连续，则有

$\int^{+\infty}_{-\infty} \delta(t)f(t)\mathrm{d}t = f(0)$

若在$t = t_0$处连续，则有

$\int^{+\infty}_{-\infty} \delta(t - t_0)f(t)\mathrm{d}t = f(t_0)$

对称函数：单位冲激函数为偶函数，即

$\delta(t) = \delta(-t)$

积分性质：设

$u(t) = \begin{cases} 1 & t > 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}$

则有

$\int^t_{-\infty} \delta(t) \mathrm{d}t = u(t) \quad u'(t) = \delta(t)$

称函数$u(t)$为单位阶跃函数（Heaviside）函数

单位冲激函数的图形采用一条从原点出发且长度为1的有向线段来表示，线段长度称为冲激强度

单位冲激函数的傅里叶变换

$\begin{gathered} \mathfrak{F}(\delta(t)) = \int^{+\infty}_{-\infty} e^{-i\omega t}\mathrm{d}t = e^{-i\omega t}|_{t=0} = 1 \\ \delta(t) \leftrightarrow 1 \end{gathered}$

单位冲激函数包含所有频率成分，且它们具有相等的幅度，称此为均匀频谱

$\mathfrak{F}^{-1}(1) = \frac{1}{2\pi} \int^{+\infty}_{-\infty} 1 \cdot e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega = \delta(t)$

由此可以得到重要公式

$\begin{aligned} \int^{+\infty}_{-\infty} e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega &= 2\pi \delta(t) \\ \int^{+\infty}_{-\infty} t \cdot e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega &= 2\pi i \delta'(t) \end{aligned}$

在$\delta$函数的傅里叶变换中，其广义积分是根据$\delta$函数的性质给出，所以无法直接计算出积分，称这种方式的傅里叶变换为广义傅里叶变换

傅里叶变换性质

线性性质：设$a, b$为常数，则

$\mathfrak{F}(af(t) + bg(t)) = aF(\omega) + bG(\omega)$

位移性质：设$t_0, \omega_0$为常数，则

$\begin{aligned} \mathfrak{F}(f(t - t_0)) = e^{-i\omega t_0}F(\omega) \quad \text{时移性质} \\ \mathfrak{F}^{-1}(F(\omega - \omega_0)) = e^{i\omega_0 t}f(t) \quad \text{频移性质} \end{aligned}$

相似性质：设$a$为非零常数，则

$\mathfrak{F}(f(at)) = \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$

微分性质：若$\lim_{|t|\rightarrow +\infty}f(t) = 0$，则

$\mathfrak{F}(f'(t)) = i\omega F(\omega)$

一般的，若$\lim_{|t|\rightarrow +\infty}f^{(k)}(t) = 0$，则

$\mathfrak{F}(f^{(k)}(t)) = (i\omega)^k F(\omega)$

同理，可得到像函数的导数公式

$\begin{aligned} \mathfrak{F}^{-1}(F'(\omega)) &= -itf(t) \\ \mathfrak{F}^{-1}(F^{(n)}(\omega)) &= -(it)^nf(t) \end{aligned}$

积分性质：

$\mathfrak{F}(\int^t_{-\infty}f(t)\mathrm{d}t) = \frac{1}{i\omega}F(\omega)$

帕塞瓦尔等式：

$\int^{+\infty}_{-\infty} f^2(t)\mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}|F(\omega)|^2\mathrm{d}\omega$

卷积与卷积定理

设函数$f_1(t)$与$f_2(t)$在区间$(-\infty, +\infty)$上有定义，如果广义积分$\int^{+\infty}_{-\infty}f_1(\tau)f_2(t - \tau)\mathrm{d}\tau$对任何实数$t$都收敛，则他在$(-\infty, +\infty)$上定义了一个自变量为$t$的函数，称此函数为$f_1(t)$与$f_2(t)$的卷积，记为$f_1(t)*f_2(t)$，即

卷积是一种新的运算，两函数相乘并积分

$f_1(t)*f_2(t) = \int^{+\infty}_{-\infty}f_1(\tau)f_2(t - \tau)\mathrm{d}\tau$

• 交换律：$f_1(t)*f_2(t) = f_2(t)*f_1(t)$
• 结合律：$f_1(t)*[f_2(t)*f_3(t)] = [f_1(t)*f_2(t)]*f_3(t)$
• 分配律：$f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)] = f_1(t)*f_2(t) + f_1(t)*f_3(t)$

采用图形方式则比较容易确定积分限
卷积有反褶，平移，相乘，积分四个步骤组成

• 首先将函数$g(\tau)$反褶并平移到$t$，得到$g(t - \tau)$
• 再与函数$f(\tau)$相乘后求积分，得到卷积$f_1(t)*f_2(t)$

设$\mathfrak{F}(f_1(t)) = F_1(\omega)$，$\mathfrak{F}(f_2(t)) = F_2(\omega)$，则有

$\begin{aligned} \mathfrak{F}(f_1(t) * f_2(t)) = F_1(\omega) \cdot F_2(\omega) \\ \mathfrak{F}^{-1}(F_1(\omega) * F_2(\omega)) = 2\pi f_1(t) \cdot f_2(t) \end{aligned}$

拉普拉斯变换

• 傅里叶变换具有局限性，只有函数$f(t)$满足Dirichlet条件，且在$(-\infty,+\infty)$上绝对可积时，才能进行古典意义下的傅里叶变换
• 绝对可积限制过大
• 许多函数在自变量维负时为0或无意义
• 没有必要或者不可能在这个实轴上进行

---

改善：

• 将函数$f(t)$乘以一个单位阶跃函数$u(t)$，使得函数在$t < 0$的部分补零
• 将函数再乘上一个衰减指数函数$e^{-\beta t}(\beta > 0)$，使得函数在$t > 0$的部分尽快地衰减下来

就有希望使得函数$f(t)u(t)\cdot e^{\beta t}$满足傅里叶变换条件

$\begin{aligned} \mathfrak{F}(f(t)u(t)e^{-\beta t}) &= \int^{+\infty}_{-\infty} f(t)u(t)e^{-\beta t}e^{-i\omega t}\mathrm{d}t \\ &= \int^{+\infty}_{0} f(t) e^{-(\beta + i\omega)t}\mathrm{d}t \end{aligned}$

将上式中的$\beta + i\omega$记为$s$，就得到一种新的变换

$F(s) = \int^{+\infty}_{0} f(t) e^{-st}\mathrm{d}t$

上述广义积分存在的关键：变量$s$的实部$\text{Res} = \beta$足够大

---

设函数$f(t)$是定义在$(0, +\infty)$上的实值函数，如果对于复参数$s = \beta + i\omega$，积分$F(s) = \int^{+\infty}_{0} f(t) e^{-st}\mathrm{d}t$在复平面$s$的某一区域内收敛，则称$F(s)$为$f(t)$的拉普拉斯变换或像函数，记为$F(s) = \mathfrak{L}$，即

$F(s) = \mathfrak{L}(f(t)) = \int^{+\infty}_{0} f(t) e^{-st}\mathrm{d}t$

相应的，称$f(t)$为$F(s)$的拉普拉斯逆变换或像原函数，记为

$f(t) = \mathfrak{L}^{-1}(F(s))$

存在性定理：
设函数$f(t)$当$t \geq 0$时，满足

• 在任何有限区间上分段连续
• 具有有限的增长性
  • 即存在常数$c$及$M > 0$，使得$|f(t)| \geq Me^{ct}$
  • $c$称为增长指数

则象函数$F(s)$在半平面$Res > c$上一定存在且解析

• 象函数$F(s)$的存在域一般是一个右半平面$Res > c$，即只要复数$s$的实部足够大就可以了
• 在拉普拉斯变换中的函数一般均约定在$t < 0$时为零，即函数$f(t)$等价于$f(t)u(t)$

常见拉普拉斯变换

$\begin{aligned} \mathfrak{L}(1) &= \mathfrak{L}(u(t)) = \frac{1}{s} \\ \mathfrak{L}(t^m) &= \frac{m!}{s^{m+1}} = \frac{\Gamma(m+1)}{s^{m+1}} \\ \mathfrak{L}(e^{at}) &= \frac{1}{s - a} \\ \mathfrak{L}(\cos at) &= \frac{s}{s^2 + a^2} \\ \mathfrak{L}(\sin at) &= \frac{a}{s^2 + a^2} \end{aligned}$

拉普拉斯变换性质

线性性质：设$a,b$为常数，则

$\begin{aligned} \mathfrak{L}(af(t) + bg(t)) &= aF(s) + bG(s) \\ \mathfrak{L}^{-1}(aF(t) + bG(t)) &= af(s) + bg(t) \end{aligned}$

相似性质：设$a$为正实数，则

$\mathfrak{L}(f(at)) = \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$

延迟性质：设当$t < 0$时，$f(t) = 0$，则对任一非负实数$\tau$有

$\mathfrak{L}(f(t - \tau)) = e^{s\tau}F(s)$

强调了$t < 0$时，$f(t) = 0$

$\begin{aligned} \mathfrak{L}(f(t - \tau)u(t - \tau)) &= e^{s\tau}F(s) \\ \mathfrak{L}^{-1}(e^{-s\tau}F(s)) &= f(t \tau)u(t - \tau) \end{aligned}$

位移性质：设$a$为任一复常数，则

$\mathfrak{L}(e^{at}f(t)) = F(s - a)$

微分性质：导数的像函数

$\mathfrak{L}(f'(t)) = sF(s) - f(0)$

可用于求解微分方程组的初值问题

像函数的导数

$\begin{gathered} F'(s) = -\mathfrak{L}(tf(t)) \\ \text{一般的} \\ F^{(n)}(s) = (-1)^n\mathfrak{L}(t^nf(t)) \end{gathered}$

积分性质：
一个函数的象函数与它积分之后的象函数的关系

$\mathfrak{L}(\int^t_0 f(t)\mathrm{d}t) = \frac{1}{s}F(s)$

一般的

$\mathfrak{L}(\int^t_0 \mathrm{d}t\int^t_0 \mathrm{d}t\cdots \int^t_0 f(t)\mathrm{d}t) = \frac{1}{s^n}F(s)$

象函数的原函数与它积分以后的原函数的关系

$\int^{\infty}_s F(s)\mathrm{d}s = \mathfrak{L}(\frac{f(t)}{t})$

一般的

$\int^{\infty}_s\mathrm{d}s\int^{\infty}_s\mathrm{d}s\cdots\int^{\infty}_s F(s)\mathrm{d}s = \mathfrak{L}(\frac{f(t)}{t^n})$

拉普拉斯卷积与卷积定理

当$t < 0$时，$f_1(t) = f_2(t) = 0$，则有

$f_1(t)*f_2(t) = \int^{t}_{0}f_1(\tau)f_2(t - \tau)\mathrm{d}\tau$

上式仍满足交换律，结合律以及分配律

$\begin{aligned} \mathfrak{L}(f_1(t) * f_2(t)) = F_1(s) \cdot F_2(s) \end{aligned}$

拉普拉斯逆变换

也称反演积分公式，由拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系可知：函数$f(t)$的拉普拉斯变换$F(s) = F(\beta + i\omega)$就是函数$f(t)u(t)e^{-\beta t}$的傅里叶变换

$\begin{aligned} F(s) &= F(\beta + i\omega) = \int^{+\infty}_{-\infty}(f(t)u(t)e^{-\beta t})e^{-i\omega t}\mathrm{d}t \\ f(t)u(t)e^{-\beta t} &= \frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}F(\beta + i\omega)e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega \\ &\Downarrow \\ f(t)u(t) &= \frac{1}{2\pi j} \int^{\beta + i\omega}_{\beta - j\omega} F(s)e^{st}\mathrm{d}s \end{aligned}$

即可得到

$f(t) = \frac{1}{2\pi j} \int^{\beta + i\omega}_{\beta - j\omega} F(s)e^{st}\mathrm{d}s \quad (t > 0)$

我们就有了如下的拉普拉斯变换对

$\begin{cases} F(s) = \int^{+\infty}_{0}f(t)e^{-\beta t}e^{-st}\mathrm{d}t \\ f(t) = \frac{1}{2\pi j} \int^{\beta + i\omega}_{\beta - j\omega} F(s)e^{st}\mathrm{d}s \quad (t > 0) \end{cases}$

利用留数计算反演积分：设函数$F(s)$除在半平面$Res < c$内有有限个孤立奇点$s_1, s_2, \cdots, s_n$外是解析的，且当$s \rightarrow \infty$时，$F(s) \rightarrow 0$，则

$\begin{aligned} f(t) &= \frac{1}{2\pi i}\int^{\beta + i\omega}_{\beta - j\omega} F(s)e^{st}\mathrm{d}s \\ &= \sum^n_{k=1} Res[F(s)e^{st}, s_k] \quad (t > 0) \end{aligned}$

或者利用查表来计算

$\begin{aligned} \mathfrak{L}^{-1}(\frac{1}{s}) &= 1 \\ \mathfrak{L}^{-1}(\frac{m!}{s^{m+1}}) &= t^m \\ \mathfrak{L}^{-1}(\frac{s}{s^2 + b^2}) &= \cos bt \\ \mathfrak{L}^{-1}(\frac{b}{s^2 + b^2}) &= \sin bt \\ \mathfrak{L}^{-1}(1) &= \delta(t) \\ \mathfrak{L}^{-1}(\frac{1}{s - a}) &= e^{at} \\ \mathfrak{L}^{-1}(\frac{m!}{(s - a)^{m+1}}) &= e^{at}t^m \\ \mathfrak{L}^{-1}(\frac{s-a}{(s-a)^2 + b^2}) &= e^{at}\cos bt \\ \mathfrak{L}^{-1}(\frac{b}{(s-a)^2 + b^2}) &= e^{at}\sin bt \end{aligned}$

求解常微分方程组

            graph LR
            微分方程组--拉普拉斯正变换-->象函数的代数方程组
象函数的代数方程组--求解-->得到象函数
得到象函数--拉普拉斯逆变换-->微分方程组的解
          

参考

• 复变函数与积分变换