[学习笔记] - 代数基础

代数结构

代数，就是代替数。

代数运算

代数运算：称映射$\circ: A \times B \rightarrow D$为$A \times B$到$D$的一个代数运算，记作$a \circ b$
二元运算：由$A \times A$到$A$的一个代数运算$\circ$称为$A$上的一个二元运算，此时称$(A, \circ)$是一个代数结构

单射，双射与满射

• 单射：指将不同的变量映射到不同的值的函数。
• 满射：指陪域等于值域的函数。即：对陪域中任意元素，都存在至少一个定义域中的元素与之对应。
• 双射（也称一一对应或一一映射）：既是单射又是满射的函数。直观地说，一个双射函数形成一个对应，并且每一个输入值都有正好一个输出值以及每一个输出值都有正好一个输入值。

运算律

• 结合律：$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$
• 交换律：$a \circ b = b \circ a$
• 右分配律：$a \circ (b \cdot c) = (a \circ b) \cdot (a \circ c)$
• 左分配律：$(b \cdot c) \circ a = (b \circ a) \cdot (c \circ a)$

同态与同构

设$(A, \circ), (\overline{A}, \overline{\circ})$为代数结构，$\sigma$为$A$到$\overline{A}$的映射

• 同态：$\sigma(a \circ b) = \sigma(a) \overline{\circ} \sigma(b)$，$\sigma$是$A$到$\overline{A}$的同态
• 单同态：$\sigma$是单射同态
• 满同态：$\sigma$是满射同态，称$A$与$\overline{A}$同态，记为$A \geq \overline{A}$
• 同构：$\sigma$是双射同态，称$A$与$\overline{A}$同构，记为$A \cong \overline{A}$
• 自同态：$\sigma$是$A$到$A$自身的同态

若要研究某一未知代数体系的结构，通过建立这个未知代数体系与某一已知代数体系之间的联系，我们所能提出的最高的要求，就是让这两个代数体系的结构完全一致，这时这两个代数体系的联系就用“同构”进行刻画。

群$G$和群$H$之间若建立了同构映射，那么不仅群$G$中的每个元素在群$H$中都有一一对应，而且对于群$G$中的两个元素$g_1, g_2$，在群运算$\circ$下得到的元素$g_3 = g_1 \circ g_2$也在这个映射下保持

同构是两个代数体系之间最精细的刻画，然而一般情况下，同构映射很难找到，就退一步，找一个比同构弱一些的要求：同态。

等价关系

关系：$A \times A$上任何一个非空子集$R$称$A$上的一个关系，若$(a, b) \in R$，称$a$与$b$有$R$关系，记为$aRb$
分类：$p(A)$的子集$\prod = \lbrace A_i \subset A | i \in I \rbrace$称集合$A$的一个分类，假若$A$中每一个元素属于且属于$A_i$之一，即下面两项同时成立

• 等价关系
  • 反身性：$a \in A \Rightarrow a \sim a$
  • 对称性：$a \sim b \Rightarrow b \sim a$
  • 传递性：$a \sim b, b \sim c \Rightarrow a \sim c$
  • 若$a \sim b$，称$a$与$b$等价
• 等价关系性质
  • $a \in \overline{a}$
  • $a \sim b \Leftrightarrow a \in \overline{b}$
  • $a \sim b \Leftrightarrow b \in \overline{a}$
  • $a \sim b \Leftrightarrow \overline{a} = \overline{b}$
• 分类的性质
  • $A = \bigcup_{i \in I}A_i$
  • $\forall i,j \in I, A_i \cap A_j = \varnothing$或$A_i = A_j$

定理：集合$A$的一个分类决定$A$的元素间的一个等价关系，反之，$A$的元素间的一个等价关系也决定$A$的一个分类

群论

• 半群：若代数结构$(G, \circ)$满足结合律
• 幺半群：含有单位元的半群
• 群：若半群$(G, \circ)$为群，满足以下条件
  • $G$中有单位元$e: ae = ea = a(a \in G)$
  • $G$中每个元$a$都有逆元$a^{-1}: aa^{-1} = a^{-1}a = e$
• 若$G$是群，则有如下结论：
  • 单位元唯一
  • 消去律成立
    • 左消去律：$ab = ac \Rightarrow b = c$
    • 右消去律：$ba = ca \Rightarrow b = c$
  • 每个元的逆元唯一
  • $(a^{-1})^{-1} = a$
  • $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$
• 若$G$是半群，则以下条件成立时$G$为群
  • $G$中有左单位元$e: ea = a(a \ in G)$
  • $G$中每个元$a$都有左拟元$a^{-1}: a^{-1}a = e$
• 交换群：群$G$满足交换律
• 加群：群$G$为交换群，用$+$表示他的运算时，称为加群
  • $0$：表示单位元，改称为零元
  • $-a$：表示$a$的逆元，改称为负元

群的阶和元的阶

幂运算：若$a$是群$G$的元，约定$a$的幂运算如下

• $a^0 = e, a^1 = a, a^2 = aa, a^3 = a^2a, \cdots$
• 若$n$是正整数，$a^{-n} = (a^{-1})^n = (a^n)^{-1}$
• $a^ma^n = a^{m+n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}$
• 有限群：群中元的个数有限
• 无限群：群中元的个数无限
• 群的阶：有限群中元的个数
• 元的阶：存在一个使$a^n = e$成立的最小正整数$n$，称为数为$a$的阶，记为$ord(a)$，否则$a$是无限阶

群的同态与变换群

满同态：设$\sigma$是群$G$到群$G'$的满同态，则

• 若$e$是$G$的单位元，则$\sigma(e)$是$G'$的单位元
• 对任何$a \in G$，在$G'$中$\sigma(a^{-1})$为$\sigma(a)$的逆元，即有$\sigma(a^{-1}) = \sigma(a)^{-1}$

核：若$\sigma: G \rightarrow G'$为群同态，$e'$为$G'$的单位元，我们称$\ker \sigma = \sigma^{-1}(e') = \lbrace a \in G | \sigma(a) = e' \rbrace$为同态$\sigma$的核
定理：若$\sigma: G \rightarrow G'$为群同态，则$\sigma$为单同态$\Leftrightarrow \ker \sigma = \lbrace e \rbrace$

变换群

变换群是群的一种具体的表示

定理：集合$A$上的一切变换之集$T_A$对于映射的复合构成了一个含幺半群
变换群：由$A$的若干一一变换构成的群称为$A$的一个变换群
对称群：集合$A$上的一切一一变换之集构成$A$的一个变换群$S_A$，称其为$A$上的对称群
定理：任何一个群$G$都同构其自身的一个变换群

代数学的本质是抽象，同时对于抽象的对象还要尽力给它一个具体的表示

置换群

• $n$元置换：集合$\lbrace 1,2,3,\cdots,n \rbrace$的一一变换
• $n$元置换群：若干$n$元置换构成的群
• $n$次对称群：一切$n$元置换构成的群$S_n$

置换的循环表示

k - 循环：若置换$\sigma \in S_n: i_1 \rightarrow i_2 \rightarrow \cdots \rightarrow i_k$，且$\sigma$保持其他的$n - k$个数字不动，我们称$\sigma$为一个k - 循环，我们将它记为$(i_1,i_2,\cdots,i_k)$
对换：我们称2 - 循环为对换
不相交循环：若两个循环中没有相同的数字，我们称它们是不相交的，不相交的两个循环的乘积是可交换的
定理：任何$n$元置换群$\sigma$都可以分解称若干不相交循环的乘积，若要求1到n每个数字在这些循环中出现且仅出现一次，且不记次序，则这种分解时唯一的。

置换的奇偶性

定理：每个循环都可以写成若干对换的乘积，但是所用对换的个数的奇偶性不变

• $(i_1i_2\cdots i_k) = (i_1i_k)(i_1i_3)(i_1i_2)$
• $(i) = (ij)(ij)$

奇置换：若$\sigma$能分解称奇数个对换的乘积，称为奇置换
偶置换：若$\sigma$能分解称偶数个对换的乘积，称为偶置换

• 偶置换与偶置换的乘积还是偶置换
• 结合律时天然的
• $(1) = (12)(12)$单位元时偶置换
• 偶置换的逆元还是偶置换

循环群

循环群：若群$G$中的每一个元都是某个固定元$a$的幂，我们就称$G$为循环群，称$a$为它的生成元，并记$G = (a)$

• 若$a$的阶无限，则$G \cong Z$且$G = \lbrace e, a^{\pm 1}, a^{\pm 2}, a^{\pm 3}, \cdots \rbrace$
• 若$a$的阶为$n$，则$G \cong Z_n$且$G = \lbrace e, a^{\pm 1}, a^{\pm 2}, \cdots a^{\pm n}\rbrace$

子群

子群：$H$是群$G$的子集，若$H$对于$G$的乘法也构成一个群，则我们称$H$是$G$的一个子群，记为$H < G$
下面三项等价

• $H < G$
• $a,b \in H \Rightarrow ab \in H, c \in H \Rightarrow c^{-1} \in H$
• $a,b \in H \Rightarrow ab^{-1} \in H$

生成子群：$S$是群$G$的子集，我们用$(S)$表示$G$中包含$S$的最小的子群，即若$S \subset H < G$，则$(S) \subset H$，我们称$(S)$为$S$生成的生成子群

若$H < G$，定义$a \sim b \Leftrightarrow ab^{-1} \in H$，则$\sim$是$G$上的一个等价关系

• 反身性：$aa^{-1} = e \in H \Rightarrow a \sim a$
• 对称性：
  • $a \sim b \Rightarrow ab^{-1} \in H$
  • $ba^{-1} = (ab^{-1})^{-1} \in H \Rightarrow b \sim a$
• 传递性：
  • $a \sim b, b \sim c \Rightarrow ab^{-1}, bc^{-1} \in H \Rightarrow ac^{-1} = (ab^{-1})(bc^{-1}) \in H \Rightarrow a \sim c$

同样我们看定义多个集合的乘积

• 等价类
  • 假设在一个集合$X$上定义一个等价关系（用$\sim$）来表示则$X$中的某个元素$a$的等价类就是在$X$中等价于$a$的所有元素所形成的子集
  • $[a] = \lbrace x \in X | x \sim a \rbrace$
• $\sim$的等价类：$\sim$如上定义，则$a \in G$所在的等价类$[a] = Ha$
  • $b \in [a] \Leftrightarrow b \sim a \Leftrightarrow ba^{-1} = h \in H \Leftrightarrow b = ha \in Ha$
• 子群的乘积：$H,K$是群$G$的两个子集，我们定义$HK = \lbrace hk | h \in H, k \in K \rbrace$
• 子群的陪集：若$H < G, a \in G$，我们称
  • $H$的右陪集：$Ha = \lbrace ha | h \in H \rbrace$
  • $H$的左陪集：$aH = \lbrace ah | h \in H \rbrace$
  • 他们都是$G$的子集
• 陪集的性质
  • $Ha = Hb \Leftrightarrow ab^{-1} \in H \Leftrightarrow a \sim b$
  • $aH = bH \Leftrightarrow b^{-1}a \in H \Leftrightarrow b \sim a$
  • $a \in H \Leftrightarrow aH = Ha = H$

对$a$来说的左陪集$aH$, 其实就是$a$在$G$上的一个等价类.

例子：

$\begin{aligned} S_3 &= \lbrace (1), (12), (13), (23), (123), (132) \rbrace \\ H &= \lbrace (1), (12) \rbrace \\ H(1) &= \lbrace (1), (12) \rbrace \\ H(13) &= \lbrace (13), (132) \rbrace \\ H(23) &= \lbrace (23), (123) \rbrace \\ H(12) &= \lbrace (1), (12) \rbrace = H(1) \\ H(132) &= \lbrace (13), (132) \rbrace = H(13) \\ H(123) &= \lbrace (23), (123) \rbrace = H(23) \\ (1)H &= \lbrace (1), (12) \rbrace \\ (13)H &= \lbrace (13), (123) \rbrace \\ (23)H &= \lbrace (23), (132) \rbrace \\ (12)H &= \lbrace (1), (12) \rbrace = H(1) \\ (132)H &= \lbrace (13), (123) \rbrace = (13)H \\ (123)H &= \lbrace (23), (132) \rbrace = (23)H \end{aligned}$

定理：设$H$是$G$的子群，令

$\begin{aligned} S_R &= \lbrace Ha | a \in G \rbrace \\ S_L &= \lbrace aH | a \in G \rbrace \end{aligned}$

• $S_R$与$S_L$一一对应
• $Ha, aH$与$H$一一对应

指数：$H$是群$G$的子群，$H$在$G$中右(左)陪集的个数，称为$H$在$G$中的指数，记为$[G:H]$
定理：设$H$是有限群$G$，则

$\begin{aligned} |G| &= [G:H] \cdot |H| \\ |G| &= |G/H| \cdot |H| \\ \text{有限群}G\text{的阶} &= \text{子群}H\text{的指数} \times \text{子群}H\text{的阶} \end{aligned}$

正规子群

正规子群：$N$是群G的子群，若$N$在满足下列条件就称$N$是$G$的正规子群，记为$N \triangleright G$

$g \in G, n \in N \Rightarrow g^{-1}ng \in N$

对于群$G$的子群$H$来说，$H$的一个左陪集$aH$未必等于右陪集$Ha$，但是对于某些子群而言，可能有$aH=Ha$，这就是正则子群。即也有以下定义$aH = Ha, \forall a \in G$成立，则$H$是正规子群

• 结合律：$((ab)c)H = (a(bc))H$
• 单位元：$(aH)(eH) = (ae)H = aH$
• 逆元：$(aH)(a^{-1}H) = (a^{-1}a)H = eH = H$

任何一个群$G$至少有两个平凡正规子群，$G$和$\lbrace e \rbrace$

• $G/G = \lbrace e \rbrace$
• $G/\lbrace e \rbrace \cong G$

交换群的每个子群都是正规子群

• 定理：设$N$是群$G$的子群，则以下四项是等价的

  • $N \triangleright G$
  • $a^{-1}Na \subset N (a \in G)$
  • $a^{-1}Na = N(a \in G)$
  • $Na = aN(a \in G)$

• 证明：

  • $(1) \Rightarrow (2)$：正规子群的定义可证
  • $(2) \Rightarrow (3)$：$aNa^{-1} \subset N(a \in G) \Rightarrow eNe = a^{-1}(aNa^{-1})a \subset a^{-1}Na \subset N \Rightarrow a^{-1}Na = N$
  • $(3) \Rightarrow (3)$：明显成立
  • $(4) \Rightarrow (1)$：$a \in G, n \in N, Na = aN \Rightarrow na = an'(n' \in N) \Rightarrow a^{-1}na = n' \in N$

商群：当$N \triangleright G$时，$G/N = \lbrace aN | a \in G \rbrace$在运算

$(aN)(bN) = (ab)N$

之下构成的群称$G$的(模$N$的)商群

• 定理：若$\sigma$是群$G$到群$G'$的同态
  • $\text{Im} \sigma$是群$G'$的子群
  • $\ker \sigma$是群$G$的正规子群

定理：若$N \cong G$，则$G \geq G/N$，即群与它的每个群同态

对于群$G$，当我们有一个正则子群$N$，我们就又多了两个群，$N$和商群$G/N$，当然，若$G/N$与原来的群$G$失去了联系，它的意义就不大了。所以当$G$与$G/N$同态，这样，我们可由$G/N$来推测$G$的性质了

定理：若$\sigma$是群$G$到群$G'$的满同态，则$G/\ker \sigma \cong G'$

以上两个定理说明，本质上，一个群的一切商群保罗了这个群的一切同态像，而商群与正规子群一一对应。

定理：若$\sigma$是群$G$到群$G'$的满同态，则我们有如下结论

• $H < G \Rightarrow \sigma(H) < G'$
• $N \triangleright G \Rightarrow \sigma(N) \triangleright G'$
• $H' < G' \Rightarrow \sigma^{-1}(H') < G$
• $N' \triangleright G' \Rightarrow \sigma^{-1}(N') \triangleright G$

环论

定义：若代数结构$(R, +, \circ)$满足下列条件，称$R$为环

• $(R, +)$是加群
  • 群$R$为交换群，用$+$表示他的运算时，称为加群
    • $0$：表示单位元，改称为零元
    • $-a$：表示$a$的逆元，改称为负元
• $(R, \circ)$满足结合律：$(ab)c = a(bc)$
• 乘法$\circ$对加法$+$满足分配律
  • $a(a + c) = ab + ac$
  • $(b + c)a = ba + ca$

$R$是环，称$R$是有单位元的环，若$R$中乘法有一个单位元，即存在一个元素$\mathbf{1}$，对于$R$中任何元素$a$，有

$a\mathbf{1} = \mathbf{1}a = a$

• 交换环：$R$是环，且乘法满足交换律
• 可逆：$R$是有单位元$\mathbf{1}$的环，$a \in R$，称$a$可逆，若有$b \in R$使$ab = ba = \mathbf{1}$（可证$b$唯一）

若$R$为环，则它有下列性质

• $0a = a0 = 0$
• $(-a)b = a(-b) = -(ab)$
• $(-a)(-b) = ab$
• $(na)b = a(nb)(n \in \mathbb{Z})$
• $\sum^m_{i=1}a_i \sum^n_{j=1b_j}=\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}a_ib_j$
• 单位元若存在，则必唯一
• 在有单位元的环中，可逆元的逆元也唯一

零因子与整环

定义：在环$R$中，若$ab = 0$，但$a \neq 0, b \neq 0$，则我们称$a$是一个左零因子，$b$是一个右零因子，统称为零因子

我们称环$R$为整环，若它再满足下列条件

• 乘法满足交换律：$ab = ba$
• 有单位元$\mathbf{1}$：$a\mathbf{1} = \mathbf{1}a = a$
• 至少有两个不同的元：$1 \neq 0$
• 没有零因子：$a \neq 0, b \neq 0 \Rightarrow ab \neq 0$

无零因子环特征

定理：若$R$是无零因子的环，则其加群中所有非零元的阶相同，或是无限，或是一个素数。
证明：设$a,b$是$R$中的两个非零元，$n$是任何正整数，由于$R$无零因子，故下列推理成立

$na = 0 \Leftrightarrow (na)b = a(nb) = 0 \Leftrightarrow nb = 0$

这说明$R$中所有非零元的阶相同，或是无限，或是有限数$p$，当为有限数$p$时，则$p$一定为素数，不然$p = kl$，此时对于任何非零元$a$有

$(ka)(la) = (kl)a^2 = pa^2 = 0 \Rightarrow \text{或} la = 0$

特征：若$R$是无零因子环，当其加群中所有非零元的阶无限时，我们称$R$是特征$0$的，记为$\ch R = 0$，当此阶为素数$p$时，我们称$R$时特征$p$的，记为$\ch R = p$

除环与域

定义：我们称环$R$为除环，若$R$还满足下列条件

• 有单位元$\mathbf{1}$
• 至少有两个元：$1 \neq 0$
• 非零元之集$R^*$对于乘法构成一个群

域：乘法可交换的除环称为域

• 除环一定没有零因子：$a \neq 0, ab = 0 \Rightarrow a^{-1}(ab) = 0$
• 在域内，若$b \neq 0$，有$b^{-1}a = ab^{-1}$，我们可用$\frac{a}{b}$，表示$b^{-1}a = ab^{-1}$，此时，普通分数的运算法则在域中也成立，如：

$\begin{aligned} \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} &= \frac{ac}{bd} \\ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} &= \frac{ad + bc}{bd} \end{aligned}$

定理：有限除环一定为域

子环和环同态

子环：$S$是环$R$的一个子集，若$S$对$R$上的加法和乘法也构成环，我们就称$S$是$R$的子环，记为$S < R$，同理我们可定义子整环，子除环和子域

定理：设子集$S$是环$R$的子集，若

$a,b \in S \Rightarrow a - b, ab \in S$

则$S < R$

环同态与同构

定义：$R$和$R'$为环，映射$\sigma: R \rightarrow R'$称为$R$到$R'$的同态，若$\sigma$再满足下列条件：

• $\sigma(a + b) = \sigma(a) + \sigma(b)$
• $\sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(b)$

若$\sigma: R \rightarrow R'$为环同态，且为满射，则称$\sigma$满同态，同时称$R$与$R'$同态，记为$R \geq R'$
若$\sigma: R \rightarrow R'$为环的满同态，且为单射，则称$\sigma$为同构，同时称$R$与$R'$同构，记为$R \cong R'$
若$\sigma: R \rightarrow R'$为环同态，$0'$为$R'$的零元，我们称$\ker \sigma = \sigma^{-1}(0') = \lbrace a \in R | \sigma(a) = 0' \rbrace$为$\sigma$的核

定理：设$\sigma: R \rightarrow R'$为环同态，则

• $\ker \sigma < R$
• $\sigma$为单同态$\Leftrightarrow \ker \sigma = \lbrace 0 \rbrace$

定理：若$\sigma$是环$R$到环$R'$的满同态，则我们有以下结论

• $\sigma(0)$是$R'$的零元
• $\sigma(-a) = -\sigma(a)$
• 若$1$是$R$的单位元，则$\sigma(1)$是$R'$的单位元
• 若$S < R$，则$\sigma(S) < R'$
• 若$S' < R'$，则$\sigma^{-1}(S') < R$

环的嵌补

嵌补定理：若环$S'$同构于环$R$的一个子环$S$，则存在一个与$R$同构的环$R'$使得$S'$在保持原有的运算时，是$R'$的子环

理想与商环

$I$是环$R$的子环，若$I$再满足下列条件我们就称$I$是$R$的理想，记为$I \triangleright R$

$r \in R, \quad i \in I \Rightarrow ri, \quad ri \in I$

对于理想，还有如下的定义方式
拥有单位元的可换环的不为空的集合$I$满足下列条件时，为理想

• 任意$a,b \in I, a + b \in I$
• 任意$x \in A, a \in I, xa \in I$

总结

• 代数运算：$a \circ b$
• 代数结构：$(A, \circ)$
• 运算律
  • 结合律：$(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$
  • 交换律：$a \circ b = b \circ a$
  • 右分配律：$a \circ (b \cdot c) = (a \circ b) \cdot (a \circ c)$
  • 左分配律：$(b \cdot c) \circ a = (b \circ a) \cdot (c \circ a)$
• 等价关系
  • 反身性：$a \in A \Rightarrow a \sim a$
  • 对称性：$a \sim b \Rightarrow b \sim a$
  • 传递性：$a \sim b, b \sim c \Rightarrow a \sim c$
• 群
  • 半群：代数结构$(G, \circ)$满足结合律
  • 幺半群：含有单位元的半群
  • 群：若$(G, \circ)$为群，满足以下条件
    • 满足结合律
    • 单位元：$ae = ea = a$
    • 逆元：$aa^{-1} = a^{-1}a = e$
  • 交换群：群$G$满足交换律
  • 加群：群$G$为交换群，用$+$表示他的运算时，称为加群
    • $0$：表示单位元，改称为零元
    • $-a$：表示$a$的逆元，改称为负元
  • 子群：$H$是群$G$的子集，若$H$对于$G$的乘法也构成一个群，则我们称$H$是$G$的一个子群，记为$H < G$
    • $H < G$
    • $a,b \in H \Rightarrow ab \in H, c \in H \Rightarrow c^{-1} \in H$
    • $a,b \in H \Rightarrow ab^{-1} \in H$
• 环
  • 代数结构$(R, +, \circ)$满足下列条件
    • $(R, +)$是加群
    • 群$R$为交换群，用$+$表示他的运算时，称为加群
      • $0$：表示单位元，改称为零元
      • $-a$：表示$a$的逆元，改称为负元
    • $(R, \circ)$满足结合律：$(ab)c = a(bc)$
    • 乘法$\circ$对加法$+$满足分配律
      • $a(a + c) = ab + ac$
      • $(b + c)a = ba + ca$
    • 对于乘法$\cdot$可以没有逆元
  • 交换环：$R$是环，且乘法满足交换律
  • 有单位元的环：乘法有：$a\mathbf{1} = \mathbf{1}a = a$
  • 可逆：$R$是有单位元$\mathbf{1}$的环，$a \in R$，称$a$可逆，若有$b \in R$使$ab = ba = \mathbf{1}$（可证$b$唯一）
  • 零因子
    • 左零因子：$ab = 0(a \neq 0, b \neq 0)$，$a$
    • 右零因子：$ab = 0(a \neq 0, b \neq 0)$，$b$
  • 整环：
    • 乘法满足交换律：$ab = ba$
    • 有单位元$\mathbf{1}$：$a\mathbf{1} = \mathbf{1}a = a$
    • 至少有两个不同的元：$1 \neq 0$
    • 没有零因子：$a \neq 0, b \neq 0 \Rightarrow ab \neq 0$
  • 除环，若$R$还满足下列条件
    • 有单位元$\mathbf{1}$
    • 至少有两个元：$1 \neq 0$
    • 非零元之集$R^*$对于乘法构成一个群
• 域：乘法可交换的除环称为域
  • 对于乘法$\cdot$可以没有逆元
• 理想
  • 任意$a,b \in I, a + b \in I$
  • 任意$x \in A, a \in I, xa \in I$

证明相关：

• $aa^{-1} = e$
• $0 = 0 + 0$
  • $a + (-a) = 0$
  • $0a = (0 + 0)a = 0a + 0a = 20a$
• $(a^{-1})^{-1} = a$